લંબ અક્ષોનું પ્રમેય અને સમાંતર અક્ષોનું પ્રમેય લખો અને સાબિત કરો.

(N/A) $1$. લંબ અક્ષોનું પ્રમેય:
આ પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થ (લેમિના) ની તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,તે પદાર્થના સમતલમાં રહેલી અને લંબ અક્ષ જ્યાં પદાર્થમાંથી પસાર થાય છે તે બિંદુએ છેદતી બે પરસ્પર લંબ અક્ષોને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$I_z = I_x + I_y$.
સાબિતી: $XY$-સમતલમાં $P(x, y)$ બિંદુ પર $m$ દળનો કણ વિચારો. $X$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = \sum my^2$,$Y$-અક્ષને અનુલક્ષીને $I_y = \sum mx^2$ અને $Z$-અક્ષને અનુલક્ષીને $I_z = \sum mr^2$ છે,જ્યાં $r^2 = x^2 + y^2$. તેથી,$I_z = \sum m(x^2 + y^2) = \sum mx^2 + \sum my^2 = I_y + I_x$.
$2$. સમાંતર અક્ષોનું પ્રમેય:
આ પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા અને પદાર્થના કુલ દળ તથા બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેના અંતરના વર્ગના ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $I_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ કુલ દળ છે અને $d$ એ બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.